Las Derivadas

Un concepto nada sencillo

Yo no entendí el concepto de derivada cuando me lo explicaron. Es más, lo entendí mucho tiempo después de que me lo explicaran. Ahora aspiro a que mis alumnos comprendan con la ayuda de los nuevos recursos gráficos de que disponemos, algo más de este concepto tan relevante en el cálculo.

La aproximación de Grant Sanderson (3Blue1Brown)

Me tiene fascinado Grant Sanderson que podréis encontrar en redes como @3blue1brown con sus videos. No solo por sus excepcionales gráficos si no sobre todo por la didáctica y el rigor de éstos. En concreto estoy intentado trasladar al aula su aproximación al cálculo usando GeoGebra. Si no lo conocéis os sugiero que lo busquéis en redes, Sanderson no sólo tiene unos videos excepcionales es que los gráficos que los componen los genera con una librería gráfica programada por él mismo que se llama Manim (de Math Animation) Existe una versión de esa librería alimentada por una comunidad que podéis encontar, descargar y usar aquí: https://www.manim.community/

Como decía intento trasladar parte de su filosofía y por supuesto la mía propia al aula empleando animaciones y gráficos que resulten ilustrativos. Esta construcción que pongo a continuación es exactamente eso. Un intento de llevar su enfoque didáctico a la explicación del aula con una construcción creada específicamente para ello. Pero te voy a explicar paso a paso más abajo cómo emplearla.

La construcción

Paso a paso

Tomemos como ejemplo un vehículo que se desplaza y cuya gráfico (espacio-tiempo) hemos llamado \(s(t)\), con su correspondiente gráfica de la velocidad \(v(t)\)

Nuestro objetivo es hacer ver a los alumnos que el concepto de velocidad instantánea es contradictorio. No tiene sentido hablar de velocidad en un instante. Pero al mismo tiempo tenemos una función \(v(t)\) cuyos puntos representan la velocidad del vehículo en cada instante.

La pregunta es: ¿Cómo podemos obtener \(v(t)\) a partir de \(s(t)\) ?

Éste será nuestro campo de juego: Esta gráfica del espacio recorrido por el vehículo en metros en función del tiempo en segundos.

Ahora vamos a calcular la velocidad en los tramos entre esos puntos. Simplemente dividiendo el espacio recorrido entre la duración (1 segundo en todos los tramos)

Observa que se puede estudiar tramo a tramo la función, calculando para cada uno la velocidad y que estos datos aparecen recogidos en una tabla vertical a la derecha.

A medida que ampliamos la cantidad de tramos (y por tanto hacemos que el tiempo transcurrido entre cada medición sea menor) y representamos cada valor de la tabla como un punto en los ejes observamos una gráfica que se asemeja cada vez más a \(v(t)\)

Estamos observando en este ejemplo del mundo real que para cada uno de estos puntos cuando el diferencial de tiempo \((dt)\) tiende a cero (se hace cada vez más pequeño) al dividir \(ds\) (el desplazamiento) entre \(dt\) obtenemos un valor que se aproxima a esa velocidad instantánea

Interpretación geométrica de la derivada

Después de trabajar esta idea concreta podemos ver la interpretación geométrica de la derivada en una función matemática ahora sin contexto real.

Aquí tienes un ejemplo de construcción para explicarlo