Problema parábola

Enunciado

Encuentra la mínima distancia de la parábola \(y=\frac{x^2}{8}\) al punto \((2,4)\)

La distancia \(D\) entre un punto \((x_1, y_1)\) y otro punto \((x_2, y_2)\) se calcula con la fórmula:

\(D = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.\)

En este caso: - \((x_2, y_2) = (x, \frac{x^2}{8})\), un punto sobre la parábola. - \((x_1, y_1) = (2, 4)\), el punto fijo.

Sustituyendo, la distancia es:

\(D=\sqrt{(x - 2)^2 + \left(\frac{x^2}{8} - 4\right)^2}.\)

Para simplificar los cálculos, minimizaremos \(D^2\) (que tiene el mismo mínimo que \(D\), ya que la raíz cuadrada es creciente). Entonces:

\(D^2 = (x - 2)^2 + \left(\frac{x^2}{8} - 4\right)^2.\)

Expandiendo cada término: 1. \((x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4\),

\(\left(\frac{x^2}{8} - 4\right)^2 = \left(\frac{x^2}{8}\right)^2 - 2\cdot\frac{x^2}{8}\cdot4 + 16 = \frac{x^4}{64} - \frac{x^2}{2} + 16\).

Sustituyendo: \(D^2 = x^2 - 4x + 4 + \frac{x^4}{64} - \frac{x^2}{2} + 16.\)

Derivamos respecto a \(x\): \(\frac{d(D^2)}{dx} = 2x - 4 + \frac{4x^3}{64} - x = 2x - 4 + \frac{x^3}{16} - x.\)

Simplificando:

\(\frac{d(D^2)}{dx} = x - 4 + \frac{x^3}{16}.\)

\(x - 4 + \frac{x^3}{16} = 0.\)

Multiplicamos todo por 16 para eliminar el denominador:

\(16x - 64 + x^3 = 0\)

Reordenamos: \(x^3 + 16x - 64 = 0.\)

Esta ecuación puede resolverse usando métodos numéricos o factorización. Probando valores, \(x = 4\) es una raíz:

\(4^3 + 16(4) - 64 = 64 + 64 - 64 = 0.\)

Por lo tanto, \(x = 4\) es una solución.

Sustituyendo \(x = 4\) en \(y =\frac{x^2}{8}\), obtenemos:

\(y = \frac{4^2}{8} = \frac{16}{8} = 2.\)

El punto sobre la parábola más cercano a \((2, 4)\) es \((4, 2)\).

La distancia mínima es: \(D = \sqrt{(4 - 2)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.\)

La mínima distancia de la parábola \(y = \frac{x^2}{8}\) al punto \((2, 4)\) es:

\(D = 2\sqrt{2}.\)